Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+……+a_n，B（n）=a₂+a₃+……+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+……+a_n+2，n=1,2，……
（1）若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ a_n }的通项公式.
（2）证明：数列{ a_n }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.

Answer 1

（1）
（2）见解析

解（１）对任意,三个数是等差数列，所以即亦即
故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是
（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有
由知，均大于０，于是


即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.
（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，
则，
于是得即
由有即，从而.
因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，
综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.
【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.