Question

对于n∈N⁺，将n 表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，当i=0时，a_i=1，当1≤i≤k时，a₁为0或1．记I（n）为上述表示中a_i为0的个数（例如：1=1×2⁰，4=1×2²+0×2¹+0×2⁰，故I（1）=0，I（4）=2），则
（1）I（12）=

 

；（2）

127

n=1

2I(n)=

 

．

Answer 1

分析：（1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2⁰，由I（n）的意义，可得答案；
（2）将n分为n=127，64≤n≤126，32≤n≤63，…n=1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．

解答：解：（1）根据题意，12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2⁰，则I（12）=2；
（2）127=1×2⁶+1×2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，
设64≤n≤126，且n为整数；
则n=1×2⁶+a₁×2⁵+a₂×2⁴+a₃×2³+a₄×2²+a₅×2¹+a₆×2⁰，
a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆中6个数都为0或1，
其中没有一个为1时，有C₆⁰种情况，即有C₆⁰个I（n）=6；
其中有一个为1时，有C₆¹种情况，即有C₆¹个I（n）=5；
其中有2个为1时，有C₆²种情况，即有C₆²个I（n）=4；
…
 

127

n=64

2^I（n）=C₆⁰2⁶+C₆¹×2⁵+C₆²×2⁴+C₆³×2³+C₆⁴×2²+C₆⁵×2+1=（2+1）ⁿ=3⁶，
同理可得：

63

n=32

2I(n)=3⁵，
…

3

n=2

2I(n)=3¹，
2^I（1）=1；
则 

127

n=1

2I(n)=1+3+3²+…+3⁶=

37-1

3-1

=1093；
故答案为：（1）2；（2）1093．

点评：解本题关键在于分析题意，透彻理解I（n）的含义 

127

n=1

2I(n)的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算．