Question

（本题12分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，
AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA₁=2，E是DD₁的中点，F是平面B₁C₁E
与直线AA₁的交点。
（1）证明：（i）EF∥A₁D₁；
（ii）BA₁⊥平面B₁C₁EF；
（2）求BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值。

Answer 1

（1）见解析；(2) BC与平面所成角的正弦值是.

本试题主要是考查了线线平行的证明，以及线面垂直的证明，以及线面角的求解。
（1）因为在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，
AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA₁=2，E是DD₁的中点，F是平面B₁C₁E
与直线AA₁的交点。那么可知得到证明。
（2）先证明垂直于平面内的两条相交直线即可。
（3）根据上一问可知线面垂直，那么利用平面的垂直，得到斜线的射影，进而表示线面角的大小，求解得到。
（1）（i）因为， 平面ADD₁ A_1，所以平面ADD₁ A_1.
又因为平面平面ADD₁ A₁₌，所以.所以.   3分
(ⅱ)因为，所以，
又因为，所以，
在矩形中，F是AA的中点，
即.
即，故.所以平面.      4分
(2) 设与交点为H，连结.
由（1）知，所以是与平面所成的角. 在矩形中，，，得，在直角中，，，得
，所以BC与平面所成角的正弦值是.    5分