Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA＝45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．

(Ⅰ)求证：AF∥平面PCE；

(Ⅱ)求证：平面PCE⊥平面PCD；

(Ⅲ)求三棱锥C－BEP的体积．

Answer 1

答案：
解析：

证明:(Ⅰ)取PC的中点G，连结FG、EG， 　　∴FG为△CDP的中位线， 　　∴FGCD，　　　　　1分 　　∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点， 　　∴ABCD， 　　∴FGAE， 　　∴四边形AEGF是平行四边形， 　　∴AF∥EG， 　　又EG平面PCE，AF平面PCE，　　　　3分 　　∴AF∥平面PCE；　　　　　4分 　　(Ⅱ)∵PA⊥底面ABCD， 　　∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD＝A， 　　∴CD⊥平面ADP， 　　又AF平面ADP，∴CD⊥AF，　　　　6分 　　直角三角形PAD中，∠PDA＝45°， 　　∴△PAD为等腰直角三角形， 　　∴PA＝AD＝2，　　　　　7分 　　∵F是PD的中点， 　　∴AF⊥PD，又CDPD＝D， 　　∴AF⊥平面PCD，　　　　8分 　　∵AF∥EG， 　　∴EG⊥平面PCD，　　　　9分 　　又EG平面PCE， 　　平面PCE⊥平面PCD；　　　　　10分 　　(Ⅲ)三棱锥C－BEP即为三棱锥P－BCE，　　　　11分 　　PA是三棱锥P－BCE的高， 　　Rt△BCE中，BE＝1，BC＝2， 　　∴三棱锥C－BEP的体积 　　V三棱锥C－BEP＝V三棱锥P－BCE＝．　　　14分