Question

已知椭圆

x2

16

+

y2

4

=1的左右焦点分别为F₁与F₂，点P在直线l：x-

3

y+8+2

3

=0上．当∠F₁PF₂取最大值时，

|PF1|

|PF2|

的比值为

3

-1

．

Answer 1

分析：先根据椭圆

x2

16

+

y2

4

=1的方程得出其左右焦点分别为F₁（-2

3

，0）、与F₂（2

3

，0）．如图，根据平面几何知识知，当∠F₁PF₂取最大值时，经过F₁与F₂的圆与直线l 相切，求出圆心坐标，再利用相似三角形的知识得出

|PF 1|

|PF 2|

=

PB

BF 2

，最后利用相似比即可求出答案．

解答：解：椭圆

x2

16

+

y2

4

=1的左右焦点分别为F₁（-2

3

，0）、与F₂（2

3

，0）．
如图，根据平面几何知识知，当∠F₁PF₂取最大值时，经过F₁与F₂，的圆与直线l 相切，此时圆心在y轴上，坐标为A（0，2），
在直线l：x-

3

y+8+2

3

=0中令y=0得B的坐标：
B（-8-2

3

，0），
在三角形BPF₁和三角形BF₂P中，∠BPF₁=∠BF₂P，
∴△BPF₁∽△BF₂P，
∴

|PF 1|

|PF 2|

=

PB

BF 2

=

AB 2-PA 2

BO+OF 2

=

3

-1．
故答案为：

3

-1．

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的关系、直线与圆的位置关系、圆的切线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．