Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e= ，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．

（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e= ，左顶点为A（﹣4，0），

∴a=4，又 ，∴c=2．…（2分）

又∵b2=a2﹣c2=12，

∴椭圆C的标准方程为 ．

（2）解：直线l的方程为y=k（x+4），

由 消元得， ．

化简得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，

∴x1=﹣4， ．…（6分）

当 时， ，

∴ ．

∵点P为AD的中点，∴P的坐标为 ，

则 ．…（8分）

直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E点坐标为（0，4k），

假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，

则kOPkEQ=﹣1，即 恒成立，

∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立，∴ ，即 ，

∴定点Q的坐标为（﹣3，0）．

（3）解：∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，

由 ，得M点的横坐标为 ，

由OM∥l，得

=

= ，

当且仅当 即 时取等号，

∴当 时， 的最小值为 ．

【解析】（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）直线l的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．（3）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为 ，由OM∥l，能求出结果．