Question

（2012•威海一模）设{a_n}是单调递增的等差数列，S_n为其前n项和，且满足4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）是否存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2？说明理由；
（III）若数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1-b_n=a_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（I）设公差为d（d＞0），利用4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中项，建立方程组，求出首项与公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（II）假设存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2，利用通项可得等式，结合m，k∈N^*，即可得到结论；
（III）利用叠加法，即可求数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（I）设公差为d（d＞0），则
∵4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中项，
∴

4(3a1+3d)=6a1+15d (a1+d+2)2=a1(a1+12d)

∴

a1=1 d=2

或

a1=- 1 4 d=- 1 2

∵d＞0，∴

a1=1 d=2

∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（II）若存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2，则2m-1+2（m+4）-1=2（k+2）-1，即2k-4m=3
∴k-2m=

3

2

∵m，k∈N^*，∴k-2m=

3

2

不可能成立
∴不存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2；
（III）由题意可得b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b_n-b_n-1=2n-3
将上面n-1个式子相加可得b_n-b₁=

(n-1)(1+2n-3)

2

=（n-1）²
∵b₁=-1，∴bn=n2-2n．

点评：本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．