Question

已知动点A，B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且

AP

=t

PB

（t是不为零的常数）．设点P的轨迹为曲线C．
（1）求点P的轨迹方程；若t=2，点M，N是C上关于原点对称的两个动点（M，N不在坐标轴上），点Q(

3

2

，3)，（2）求△QMN的面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y），由

AP

=t

PB

得a=(1+t)x，b=

1+t

t

y，由|AB|=2能得到点P轨迹方程．
（2）当t=2时，点P的轨迹C的方程为

9x2

4

+

9y2

16

=1．设直线方程为y=kx与C方程联立得

9

16

(4+k2)x2-1=0，
易得△＞0，由此能够导出S有最大值2

2

．

解答：解：（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y），
由

AP

=t

PB

得a=(1+t)x，b=

1+t

t

y，
由|AB|=2得点P轨迹方程为

x2

4 (1+t)2

+

y2

4t2 (1+t)2

=1，
当t=2时，C的方程为

9x2

4

+

9y2

16

=1，
（2）设直线方程为y=kx与C方程联立得

9

16

(4+k2)x2-1=0，
易得△＞0，
|MN|=

8 1+k2

3 4+k2

，
点Q到直线的距离为d=

| 3 2 k-3|

1+k2

，
得S=2

1- 4 4 k +k

，当且仅当k=-2时，
S有最大值2

2

．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．