Question

(10)已知函数y=f(x)的图象与函数y=a^x(a＞0且a=1)的图象关于直线y=x对称，

记g(x)=f(x)［f(x)+f(2)-1］．若y=g(x)在区间[，2]上是增函数，则实数a的取值范围是

 (A)[2，+∞)       (B)(0，1)∪(1，2)       (C)[，1)           (D)(0，]

Answer 1

D

法一.解析:由已知得f(x)=log_ax

∴g(x)=log²_ax+(log_a²-1)log_ax

 

令t=log_ax

 

(ⅰ)0＜a＜1时,t=log_ax在［,2］上单调减

且t∈［log_a²,-log_a²］

∵g(x)在［,2］上是增函数.

∴h(t)=t²+(log²_a-1)t在［log_a²,-log_a²］上单减

 

又h(t)的对称轴为t=

∴≥-log_a²

 

∴log_a²≥-1

∴0＜a≤

 

(ⅱ)当a＞1时.t=log_ax在［］上递增.

且t∈［-log_a²,-log_a²］

 

∵g(x)在［］上递增.

 

∴h(t)=t²+(log_a²-1)t在［-log_a²,-log_a²］上单调增.

 

又h (t)的对称轴为(1-log_a²)

∴-log_a²≥(1-log_a²)

log_a²≤-1

 

∴2≤     a≤(与a＞1矛盾,舍去).

法二.

解析:∵g(x)在［,2］递增.

∴必有g(2)≥g()

在A、B、C三选项中对a取特殊值.验证.均存在使g（2）≥g（）不成立的值,故A、B、C被排除.

∴选D.