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    设F1，F2为双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，当
    |PF1|2
    |PF2|
    最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是
     
    ．
    分析：由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，∴|PF2|=2a+|PF1|，∴
    |PF2|2
    |PF1|
    =
    (2a+|PF1|)2
    |PF1|
    =
    4a2
    |PF1|
    +4a+|PF1| ≥8a    ．
    当且仅当
    4a2
    |PF1|
    =|PF1|    ，即||PF1|=2a时取得等号．然后利用焦半径公式可以导出该双曲线离心率e的取值范围．
    解答：解：由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，
    ∴|PF2|=2a+|PF1|，
    ∴
    |PF2|2
    |PF1|
    =
    (2a+|PF1|)2
    |PF1|
    =
    4a2
    |PF1|
    +4a+|PF1| ≥8a    ．
    当且仅当
    4a2
    |PF1|
    =|PF1|    ，即||PF1|=2a时取得等号．
    设P（x0，y0），（x0≤-a）
    依焦半径公式得：|PF1|=-e×x0-a=2a，
    ∴e•x0=-3a，∴e=-
    3a
    x0
    ≤3
    又∵e＞1，故e∈（1，3]
    答案：（1，3]．
    点评：本题考查双曲线的定义、焦半径、离心率、均值不等式，解题时要注意公式的合理选用．
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    设F1和F2为双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（　　）
    A、
    3
    2
    B、2
    C、
    5
    2
    D、3

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    设F1、F2为双曲线
    x2
    sin2θ
    -
    y2
    b2
    =1（0＜θ≤
    π
    2
    ，b＞0）的两个焦点，过F1的直线交双曲线的同支于A、B两点，如果|AB|=m，则△AF2B的周长的最大值是（　　）
    A、4-mB、4
    C、4+mD、4+2m

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    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的两个焦点，若F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为
    2
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为
    		10
    -
    		2
    2
    		10
    -
    		2
    2
    ；设F1和F2为双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为
    2
    2
    ；经过抛物线y=
    1
    4
    x2    的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若y1+y2=5，则线段AB的长等于
    7
    7
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若
    PF12PF2
    的最小值恰是实轴长的4倍，则该双曲线离心率的取值范围是
    （1，3]
    （1，3]
    ．

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