Question

已知g（x）是对数函数，且它的图象恒过点（e，1）；f（x）是二次函数，且不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），且f（0）=3．
（1）求g（x）的解析式
（2）求f（x）的解析式；
（3）写出y=f（x）的单调递减区间（不用写过程）．并用减函数的定义给予证明．（要写出证明过程）

Answer 1

解：（1）设g（x）=log_ax，（a＞0，a≠1的常数）．
∵函数g（x）恒过点（e，1），∴1=log_ae，∴a¹=e，即a=e．
∴g（x）=lnx（x＞0）．
（2）∵f（x）是二次函数，且不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），
∴可设f（x）=a（x+1）（x-3）且a＜0，
又∵f（0）=3，∴-3a=3，解得a=-1．
∴y=f（x）=-x²+2x+3．
（3）单调减区间为（1，+∞）．
证明：设1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（
=-（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（2-x₁-x₂）
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，2-x₁-x₂=1-x₁+1-x₂＜0，
∴（x₁-x₂）（2-x₁-x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）单调减区间为（1，+∞）．
分析：（1）利用对数的定义、对数与指数式的互化即可得出；
（2）利用“三个二次”的关系即可得出；
（3）利用单调递减函数的定义即可证明．
点评：熟练掌握对数的定义、对数与指数式的互化、“三个二次”的关系、单调函数的定义是解题的关键．