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    已知存在正整数k，使得对任意实数x，式子sinkx•sinkx+coskx•coskx-cosk2x的值为同一常数，则满足条件的正整数k=
    3
    3
    ．
    分析：记f（x）=sinkx•sinkx+coskx•coskx-cosk2x，则由条件f（x）恒为同一常数，取x=
    π
    2
    ，得k为奇数，设k=2n-1，上式成为sin（nπ-
    π
    2
    ）=-1，因此n为偶数，令n=2m，则k=4m-1从而得出正整数k的值．
    解答：解：记f（x）=sinkx•sinkx+coskx•coskx-cosk2x，
    则由条件f（x）恒为同一常数，取x=
    π
    2
    ，得f（x）=sin
    kπ
    2
    -（-1）k，则k为奇数． 
    设k=2n-1，上式成为f（x）=sin（nπ-
    π
    2
    ）+1，因此n为偶数，
    令n=2m，则k=4m-1，故只有k=3满足题意，
    故答案为：3
    点评：本题考查函数的恒成立问题，体现了特殊值的思想，得到k为奇数，设k=2n-1，在得到n为偶数，这是解题的难点．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    k
    2
    ，k∈Z}    且f（x）+f（2-x）=0，f(x+1)=-
    1
    f(x)
    ，当0＜x＜
    1
    2
    时，f（x）=3x．
    （1）求证：f（x）是奇函数；
    （2）求f（x）在区间(2k+
    1
    2
    ，2k+1)(k∈    Z）上的解析式；
    （3）是否存在正整数k，使得当x∈(2k+
    1
    2
    ，2k+1)    时，不等式log3f（x）＞x2-kx-2k有解？证明你的结论．

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    （本小题满分12分）已知数列，

    定义其倒均数是。

       （1）求数列{}的倒均数是，求数列{}的通项公式；

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    科目：高中数学 来源：2011届福建省厦门外国语学校高三上学期11月月考理科数学卷 题型：解答题

    （本小题满分13分）已知数列，定义其倒均数是。
    （1）求数列{}的倒均数是，求数列{}的通项公式；
    （2）设等比数列的首项为－1，公比为，其倒数均为，若存在正整数k，使恒成立，试求k的最小值。

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    科目：高中数学 来源：2008-2009学年广东省六校联合体高三第二次联考数学试卷（文科）（仲元中学、中山一中、宝安中学、潮阳一中、南海中学、普宁二中）（解析版） 题型：解答题

    已知函数f（x）的定义域是且f（x）+f（2-x）=0，，当时，f（x）=3x．
    （1）求证：f（x）是奇函数；
    （2）求f（x）在区间Z）上的解析式；
    （3）是否存在正整数k，使得当x∈时，不等式log3f（x）＞x2-kx-2k有解？证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源：2010年上海市长宁区高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知函数f（x）的定义域是且f（x）+f（2-x）=0，，当时，f（x）=3x．
    （1）求证：f（x）是奇函数；
    （2）求f（x）在区间Z）上的解析式；
    （3）是否存在正整数k，使得当x∈时，不等式log3f（x）＞x2-kx-2k有解？证明你的结论．

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