Question

对任意两个非零的平面向量

α

和

β

，定义

α

?

β

=

α • β

β • β

．若两个非零的平面向量

a

，

b

满足

a

与

b

的夹角θ∈(

π

4

，

π

2

)，且

a

?

b

和

b

?

a

都在集合{

n

2

|n∈Z}中，则

a

?

b

=

1

2

．

Answer 1

分析：由新定义分别可得

a

?

b

和

b

?

a

，由题意可

a

?

b

=

n1

2

，

b

?

a

=

n2

2

，（n₁，n₂∈Z），两式相乘可得0＜n₁n₂＜2，由整数的特点可得n₁，n₂的值，可得答案．

解答：解：由新定义可得：

a

?

b

=

a • b

b • b

=

| a || b |cosθ

| b |2

=

| a |

| b |

cosθ，

b

?

a

=

b • a

a • a

=

| a || b |cosθ

| a |2

=

| b |

| a |

cosθ，
又因为

a

?

b

和

b

?

a

都在集合{

n

2

|n∈Z}中，
设

a

?

b

=

n1

2

，

b

?

a

=

n2

2

，（n₁，n₂∈Z），
可得（

a

?

b

）•（

b

?

a

）=cos²θ=

n1n2

4

，
又θ∈（

π

4

，

π

2

），所以0＜n₁n₂＜2
所以n₁，n₂的值均为1，故

a

?

b

=

n1

2

=

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题考查数量积与夹角的关系，准确把新定义转化为熟悉的数量积是解决问题的关键，属中档题．