Question

已知点F（0，

3

2

），动圆P经过点F且和直线y=-

3

2

相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．
（1）求曲线W的方程；
（2）四边形ABCD是等腰梯形，A，B在直线y=1上，C，D在x轴上，四边形ABCD 的三边BC，CD，DA分别与曲线W切于P，Q，R，求等腰梯形ABCD的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由动圆圆心P到F的距离等于P到y=

1

2

的距离，知P点的轨迹是抛物线，由此能求出双曲线W的方程．
（2）设P（x，y），由y=

1

6

x2，y′=

1

3

x，知BC方程：y-y₁=

1

3

x1(x-x1)，令y=0，得出-

1

6

x12=

1

3

x1（x-x₁），解得x=

1

2

x1，由梯形ABCD的面积S=

1

2

×(2×

1

2

x1+2×

6+x12

2x1

)×1，能求出等腰梯形ABCD的面积的最小值．

解答：解：（1）动圆圆心P到F的距离等于P到y=

1

2

的距离，
则P点的轨迹是抛物线，
且p=2，所以x²=6y为双曲线W的方程．
（2）设P（x，y），由y=

1

6

x2，y′=

1

3

x，知BC方程：y-y₁=

1

3

x1(x-x1)，
令y=0，-

1

6

x12=

1

3

x1（x-x₁），x=

1

2

x1，
即C（

1

2

x1，0），
令y=1，1-

1

6

x12=

1

3

x1（x-x₁），

6-x12

6

=

1

3

x1(x-x1)，
x=

6-x12

2x1

+x₁=

6+x12

2x1

，即B（

6+x12

2x1

，1），
所以梯形ABCD的面积S=

1

2

×(2×

1

2

x1+2×

6+x12

2x1

)×1=

1

2

(x1+

6+x12

2x1

)
=

1

2

(x1+

6

x1

+x1)
=

1

2

(2x1+

6

x1

)
≥

1

2

×2

12

=2

3

．
当且仅当2x₁=

6

x1

，即x1=

3

时，S有最小值2

3

．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查等腰梯形ABCD的面积的最小值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．