Question

已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）•e^x．
（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；
（2）当m＞2时，求函数f（x）的极大值．

Answer 1

分析：（1）给出的函数是一个二次三项式和一个指数式的乘积，指数式恒大与0，要使原函数没有零点，只需要二次三项式对应的二次方程的判别式小于0即可；
（2）求出函数的导函数，由m＞2，得-m＜-2，由导函数的两个零点-m，-2把函数的定义域分段，借助于二次函数判断导函数在各区间段内的符号，从而得到原函数在各区间段内的增减性，得到极大值点，把极大值点的横坐标代入原函数求得函数的极大值．

解答：解：（1）令f（x）=（x²+mx+m）•e^x=0．
∵e^x＞0，∴x²+mx+m=0．
∵函数f（x）没有零点，∴方程x²+mx+m=0无实根．
则△=m²-4m＜0，解得：0＜m＜4．
所以函数f（x）没有零点的实数m的取值范围是（0，4）；
（2）由f（x）=（x²+mx+m）•e^x．
得：f^′（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+m）e^x
=（x²+2x+mx+2m）e^x=（x+2）（x+m）e^x．
令f^′（x）=0，得：x=-2或x=-m．
当m＞2时，-m＜-2．
所以，当x∈（-∞，-m）时，f^′（x）＞0，函数f（x）为增函数；
当x∈（-m，-2）时，f^′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f^′（x）＞0，f（x）为增函数；
所以，当x=-m时，f（x）取得极大值，极大值为f（-m）=[（-m）²+m•（-m）+m]e^-m=me^-m．

点评：本题考查了函数零点的判断，考查了利用函数导函数研究函数的单调性与极值，连续函数在定义域内的某点处，左右两侧的单调性不同，则该点为函数的极值点，先增后减为极大值点，先减后增为极小值点．此题是中档题．