Question

如图，分别是正三棱柱的棱、的中点，且棱，.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使二面角的大小为，若存在，求的长，若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）见解析（2）不存在

解析试题分析：（1）连结交于F，连结DF，EF，因为E是的中点，所以EF平行且等于的一半，又因为D是的中点，所以，所以是平行四边形，所以DF∥A₁E，所以平面；（2）在正三棱柱中建立空间直角坐标系，假设在AA₁上存在M满足条件，求出，设=()，用表示出M点坐标，利用向量法求出二面角M-BC₁-B₁的大小的余弦值，根据题意列出关于的方程，若能解出则存在，否则不存在.
试题解析：【法一】（1）在线段上取中点，连结、.
则，且，∴是平行四边形 3′
∴，又平面，平面，
∴平面. 5′
（2）由，，得平面.
过点作于，连结.
则为二面角的平面角 8′
在中，由，得
边上的高为，∴，又，
∴，∴. 11′
∴在棱上时，二面角总大于.
故棱上不存在使二面角的大小为的点． 12′
【法二】建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、.
∴、、、