练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），且a1，a2，a3，…，an构成一个数列，又f（1）=n2，

    （1）求数列｛an｝的通项公式；

    （2）求证：f()＜1.

    思路解析：从f（1）=n2知，数列｛an｝的前n项和Sn=n2，这样，就将问题转化为“知Sn求an”的问题了.

    解：（1）在f（x）中，令x=1，则f（1）=a1+a2+a3+…+an，

    ∵ f（1）=n2，∴ a1+a2+a3+…+an=n2，即Sn=n2.

    当n=1时，a1=S1=1，

    当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1.

    验证知，a1=1也适合上式，∴ an=2n-1（n∈N*）.

    （2）∵ f()=+3×()2+5×()3+…+（2n-1）×()n，

    ∴ f()=1×()2+3×()3+…+（2n-3）×()n+（2n-1）×()n+1.

    两式相减,得f()=+2［()2+()3+…+()n］-（2n-1）×()n+1

    =+2×-（2n-1）×()n+1=-2（n+1）()n+1，

    ∴ f()=1-（n+1）()n＜1.

    评注：此题综合了数列与函数，数列与不等式，及数列求和等多方面的知识，值得研究.

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    a-x2
    x
    +lnx  (a∈R ， x∈[
    1
    2
     ， 2])
    （1）当a∈[-2，
    1
    4
    )    时，求f（x）的最大值；
    （2）设g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•海淀区二模）已知函数f（x）=a-2x的图象过原点，则不等式f(x)＞
    34
    的解集为
    （-∞，-2）
    （-∞，-2）
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=a|x|的图象经过点（1，3），解不等式f(
    2x
    )＞3    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0
    （1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；
    （2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定义函数F（x）=
    f(x)   ，  x＞0
    -f(x) ，    x＜0
     给出下列命题：①F（x）=|f（x）|； ②函数F（x）是奇函数；③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正确命题的序号是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案