Question

（2013•资阳二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（

6

2

，

3

2

）两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

为定值．

Answer 1

分析：（I）把（1，1）与（

6

2

，

3

2

）两点代入椭圆方程解出即可．
（II）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．
①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．
②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为y=-

1

k

x，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到|OA|2=|OB|2=

x

2 1

+

y

2 1

=

3(1+k2)

1+2k2

，同理|OM|2=

3(1+k2)

2+k2

，代入要求的式子即可．

解答：解析（Ⅰ）将（1，1）与（

6

2

，

3

2

）两点代入椭圆C的方程，
得

1 a2 + 1 b2 =1 3 2a2 + 3 4b2 =1

解得

a2=3 b2= 3 2

．
∴椭圆PM₂的方程为

x2

3

+

2y2

3

=1．
（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．
①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=

1

b2

+

1

b2

+

2

a2

=2(

1

a2

+

1

b2

)=2．
同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=

1

a2

+

1

a2

+

2

b2

=2(

1

a2

+

1

b2

)=2．
②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），
则直线OM的方程为y=-

1

k

x，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx x2 3 + 2y2 3 =1

解得

x

2 1

=

3

1+2k2

，

y

2 1

=

3k2

1+2k2

，
∴|OA|2=|OB|2=

x

2 1

+

y

2 1

=

3(1+k2)

1+2k2

，同理|OM|2=

3(1+k2)

2+k2

，
所以

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=2×

1+2k2

3(1+k2)

+

2(2+k2)

3(1+k2)

=2，
故

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=2为定值．

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等