Question

19．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 以O为原点，在平面ABCD内过O作AB的平行线为x轴，以OD为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BM与平面PCO所成角的正弦值．

解答 解：以O为原点，在平面ABCD内过O作AB的平行线为x轴，以OD为y轴，以OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
B（2，-1，0），C（2，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
M（1，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），O（0，0，0），
$\overrightarrow{BM}$=（-1，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OP}$=（0，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{OC}$=（2，1，0），
设平面PCO的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OP}=\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=2x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，0），
设直线BM与平面PCO所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BM}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-1-3}{2\sqrt{5}}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴直线BM与平面PCO所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．