Question

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，Ox轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的方程为

x= 1 tan? y= 1 tan2? .

（φ为参数），曲线C₂的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，若曲线C₁与C₂相交于A、B两点． 
（I）求|AB|的值；  
（Ⅱ）求点M（-1，2）到A、B两点的距离之积．

Answer 1

分析：（I）先将两曲线的方程都化成直角坐标方程，从而有曲线C₁的即y=x²；曲线C₂即直线x+y-1=0，把直线的方程代入圆的方程，化简后得到一个关于x的一元二次方程，利用韦达定理即可求出|AB|的长；
（II）由（1）中的关于x的一元二次方程得到A，B两点的坐标，再利用两点间的距离公式求出点M（-1，2）到A、B两点的距离，最后再求出点M（-1，2）到A、B两点的距离之积．

解答：解：（I）曲线C₁的方程为

x= 1 tan? y= 1 tan2? .

（φ为参数）的普通方程为y=x²，
曲线C₂的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，的直角坐标方程为：x+y-1=0，
把直线 x+y-1代入y=x²，
得x²+x-1=0，∴x₁=

-1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

，
∴x₁+x₂=-1．x₁x₂=-1，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+1)(1+4)

=

10

．
（II）由（I）得A，B两点的坐标分别为A（

-1+ 5

2

，

3- 5

2

），B（

-1- 5

2

，

3+ 5

2

），
∴|MA|²=（

1+ 5

2

）²+（

1+ 5

2

）²，|MB|²=（

1- 5

2

）²+（

1- 5

2

）²，
则点M到A，B两点的距离之积为|MA|•|MB|=2×

1+ 5

2

×

-1+ 5

2

=2．

点评：此题考查学生掌握并灵活运用直线与圆的参数方程，简单曲线的极坐标方程，两点间的距离公式等，是一道综合题．