Question

在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，分别是的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

本题主要考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定和三棱锥的体积的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．
（1）欲证OD∥平面PAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OD与平面PAC内一直线平行，而OD∥PA，PA?平面PAC，OD?平面PAC，满足定理条件；
（2）欲证平面PAB⊥平面ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面PAB内一直线与平面ABC垂直，而根据题意可得PO⊥平面ABC；
（3）根据OP垂直平面ABC得到OP为三棱锥P-ABC的高，根据三棱锥的体积公式可求出三棱锥P-ABC的体积．
解：（Ⅰ）分别为的中点，
∥
又平面，平面
∥平面. ………………5分
（Ⅱ）连结，
，为中点，,
⊥，.
同理, ⊥，.
又,,
，⊥.
⊥,⊥,,
⊥平面.
又平面，平面⊥平面.…………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知垂直平面
为三棱锥的高，且
. …………………………14分