Question

22.对任意函数f(x)，xD，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x₀D，经数列发生器输出x₁=f(x₀);

②若x₁D，则数列发生器结束工作；若x₁D，则将x₁反馈回输入端，再输出x₂=f(x₁)，并依此规律继续下去.现定义f(x)=.

(1)若输入x₀=，则由数列发生器产生数列{x_n}，请写出数列{x_n}的所有项；

(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x₀的值；

(3)若输入x₀时，产生的无穷数列{x_n}满足：对任意正整数n，均有x_n<x_n+1，求x₀的取值范围.

Answer 1

22.

［解］(1)∵f(x)的定义域D=(－，－1)∪(－1，+)，

 

∴数列{x_n}只有三项：x₁=，x₂=，x₃=－1.                          

 

(2)∵f(x)=，即x²－3x+2=0，

∴x=1，或x=2.

即当x₀=1或2时，x_n+1=.

故当x₀=1时，x_n=1；当x₀=2时，x_n=2 (nN).       

 

(3)解不等式x<，

得x<－1或1<x<2，要使x₁<x₂，则x₁<－1或1<x₁<2.    

对于函数f(x)==4－.

 

若x₁<－1，则x₂=f(x₁)>4，x₃=f(x₂)<x₂.               

 

当1<x₁<2时，x₂=f(x)>x₁，且1<x₂<2，依次类推，

 

可得数列{x_n}的所有项均满足x_n+1>x_n(nN).

 

综上所述，x₁(1，2)，由x₁=f(x₀)，得x₀(1，2).