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设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),则下列命题中是真命题的个数是( )
①存在一个圆与所有直线相交②存在一个圆与所有直线不相交;
③存在一个圆与所有直线相切④M中所有直线均经过一个定点;
⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上;
⑥对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上;
⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】分析:根据已知可知直线系M都为以(0,2)为圆心,以1为半径的圆的切线,取半径为2即可得到所以①对;存在圆心为(0,2),半径为的圆与直线都不相交,所以②对;③显然对;④错;⑤错,存在可取一点(0,2)即可验证;⑥,⑦可去三角形的外接正三角形所有边均在M中的直线上且面积相等,所以⑥⑦都正确.
解答:解:根据直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)得到所有直线都为圆心为(0,2),半径为1的圆的切线;
可取圆心为(0,2),半径分别为2,,1得到①②③正确;所有的直线与一个圆相切,没有过定点,④错;存在(0,2)不在M中的任一条直线上,所以⑤错;存在等边三角形的三边都在M中的直线上,⑥⑦对,可取圆的外接正三角形其所有边均在M中的直线上且面积相等;可知①②③⑥⑦正确,④⑤错,所以真命题的个数为5个
故选C
点评:考查学生利用直线的斜截式方程得到直线系M为平面内除过一个圆的区域.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题:A、存在一个圆与所有直线相交;B、存在一个圆与所有直线不相交;C、存在一个圆与所有直线相切;D、M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是
 
(写出所有真命题的代号).

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科目:高中数学 来源: 题型:

设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题:
(1)M中所有直线均经过一个定点;
(2)存在定点P不在M中的任一条直线上;
(3)对于任意正整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上;
(4)M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题的序号是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个结论:
(1)当直线垂直y轴时,θ=0或π;
(2)当θ=
π6
时,直线的倾斜角为120°;
(3)M中所有直线均经过一个定点;
(4)存在定点P不在M中的任意一条直线上.
其中正确的是
(2)(4)
(2)(4)
(写出所有正确的代号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),则下列命题中是真命题的个数是(  )
①存在一个圆与所有直线相交②存在一个圆与所有直线不相交;
③存在一个圆与所有直线相切④M中所有直线均经过一个定点;
⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上;
⑥对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上;
⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
A、3B、4C、5D、6

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆Mx2+y2-2tx-6t-10=0,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),若椭圆C与x轴的交点A(5,y0)到其右准线的距离为
10
3
;点A在圆M外,且圆M上的点和点A的最大距离与最小距离之差为2.
(1)求圆M的方程和椭圆C的方程;
(2)设点P为椭圆C上任意一点,自点P向圆M引切线,切点分别为A、B,请试着去求
P
A•
P
B
的取值范围;
(3)设直线系M:xcosθ+(y-3)sinθ=1(θ∈R);求证:直线系M中的任意一条直线l恒与定圆相切,并直接写出三边都在直线系M中的直线上的所有可能的等腰直角三角形的面积.

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