Question

已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁，x₂都有f=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x²-1）＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意和式子的特点，先令x₁=x₂=-1求出f（-1）=0，再令x₁=-1，x₂=x求出f（-x）=f（x），则证出此函数为偶函数；
（2）先任取x₂＞x₁＞0，再代入所给的式子进行作差变形，利用x₂=和且＞0，判断符号并得出结论；
（3）根据题意和（1）的结论，把不等式转化为f（|2x²-1|）＜f（4），再由（2）的结论知|2x²-1|＜4，故解此不等式即可．
解答：解：（1）由题意知，对定义域内的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=-1，代入上式解得f（-1）=0，
令x₁=-1，x₂=x代入上式，∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）设x₂＞x₁＞0，则=
∵x₂＞x₁＞0，∴，∴＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（2）=1，∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
∵f（x）是偶函数，∴不等式f（2x²-1）＜2可化为f（|2x²-1|）＜f（4），
又∵函数在（0，+∞）上是增函数，∴|2x²-1|＜4，且2x²-1≠0，
即-4＜2x²-1＜4，且2x²≠1解得：，且x≠，
即不等式的解集为{x|，且x≠}．
点评：本题的考点是抽象函数的性质及其应用，根据证明函数奇偶性和单调性的方法，反复给x₁和x₂值利用给出恒等式，注意条件的利用；求解不等式时利用函数的奇偶性及条件转化为两个函数值的关系，进而由函数的单调性转化为自变量的大小，易错点忽略定义域．