Question

【题目】已知函数，.

(I)若，求函数的单调区间；

(Ⅱ)若存在极小值点，且，其中，求证: ；

(Ⅲ)试问过点可作多少条直线与的图像相切?并说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)单调减区间为单调增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)答案见解析.

【解析】分析：（1）对进行求导计算即可得到单调区间；

（2）若存在极小值点，，则，由可得，化简代入，即可得到证明；

（2）设切点坐标是，依题意：，化简得：

设，，故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数.，接下来对a进行分析讨论即可.

解析：(1) ，

所以的单调减区间为单调增区间为；

(2) ，存在极小值点，则.

，则，

所以 代入所以 ，

则，又，所以；

(3) 时，有1条切线；时，有2条切线.

设切点坐标是，依题意：

即，化简得：

设，

故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数.

，

①当时， ，在上恰有一个零点1；

②当时， 在上恒成立，

在上单调递减，且，

故在上有且只有一个零点，

当时， 在上恰有个零点；

③时，在上递减，在上递增，

故在至多有两个零点，且

又函数在单调递增，且值域是，

故对任意实数，必存在，使，此时

由于，

函数在上必有一零点；

先证明当时， ，即证

若，，而，由于

若，构建函数

，

在为增函数，

综上时，，所以

，故

又，，所以在必有一零点.

当时， 在上有两个零点

综上：时，有1条切线；时，有2条切线.