Question

已知椭圆的长轴长为，离心率为，椭圆C₂与C₁有共同的短轴．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）若C₂与直线l：x-y+2=0有两个不同的交点，求椭圆的离心率e₂的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根据题意可推断出椭圆方程中的长半轴，进而根据题意列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c，则椭圆C₁的方程可得．
（II）设C₂的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合方程有解的条件即可求得m的取值范围，从而求得椭圆的离心率e₂的取值范围，解决问题．
解答：解：（Ⅰ）由题意，，（2分）
所以c=1，b=1，（4分）
所以C₁的方程为：（6分）
（Ⅱ）椭圆C₂与C₁有共同的短轴，所以设C₂的方程为，（8分）
联立方程：得，，（10分）
（没写m＞1的，扣1分）
所以m＞3，（12分）
而，（13分）
所以．（14分）
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单性质，解答关键是利用方程思想求得m的范围，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用．