Question

经过点P（

1

2

，0）且与双曲线4x²-y²=1仅交于一点的直线有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：分情况进行讨论：（1）当过点P的直线不存在斜率时，可求出此时直线方程，易检验；（2）当直线存在斜率时，设直线方程为：y=k（x-

1

2

），则方程组

y=k(x- 1 2 ) 4x2-y2=1

只有一解，消y后关于x的方程只有一解，再按方程类型讨论即可求得；

解答：解：（1）当过点P的直线不存在斜率时，直线方程为x=

1

2

，此时仅一个交点（

1

2

，0）；
（2）当直线存在斜率时，设直线方程为：y=k（x-

1

2

），
由

y=k(x- 1 2 ) 4x2-y2=1

得(4-k2)x2+k2x-

1

4

k2-1=0①，
当4-k²=0，即k=±2时，解方程①得x=

1

2

，方程组的解为

x= 1 2 y=0

，此时直线与双曲线只有一个交点（

1

2

，0），直线方程为y=2（x-

1

2

），y=-2（x-

1

2

）；
当4-k²≠0即k≠±2时，令△=0，此方程无解，即方程组无解，此时直线与双曲线无交点；
综上所述，经过点p（

1

2

，0）且与双曲线4x²-y²=1仅交于一点的直线有3条，
故选C．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查方程思想，直线与圆锥曲线交点个数往往转化为相应方程组的解的个数问题解决，体现了转化思想．