【题目】已知函数f(x)=x﹣lnx﹣1,g(x)=k(f(x)﹣x)+ ,(k∈R).
(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程;
(2)求函数g(x)的单调区间;
(3)当1<k<3,x∈(1,e)时,求证:g(x)>﹣ (1+ln3).
【答案】
(1)解:由f(x)=x﹣lnx﹣1,可得f′(x)=1﹣ .
即有f(2)=1﹣ln2,f′(2)= ,
所以切线方程是y﹣(1﹣ln2)= (x﹣2),
即为y= x﹣ln2;
(2)解:由f(x)=x﹣lnx﹣1,
可得g(x)=k(f(x)﹣x)+ = ﹣klnx﹣k,
g′(x)=x﹣ = ,(x>0),
①当k≤0时,g′(x)>0.
可得g(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间;
②当k>0时,令g′(x)>0,得x> ;令g′(x)<0,得0<x< .
所以g(x)的单调递增区间是( ,+∞),单调递减区间是(0, )
(3)证明:由(2)知,当1<k<3,x∈(1,e),g(x)的导数和函数值变化情况如下图
x | (1, ) | ( ,e) | |
g′(x) | ﹣ | 0 | + |
g(x) | 递减 | 极小值 | 递增 |
所以g(x)的最小值是g( )=﹣ ﹣ lnk;
令h(k)=﹣ ﹣ lnk,可得h′(k)=﹣1﹣ lnk,
因为1<k<3,所以lnk>0,
所以h′(k)<0,
即有h(k)在(1,3)上单调递减.
则h(k)>h(3)=﹣ ﹣ ln3.
当1<k<3,x∈(1,e)时,g(x)>﹣ ﹣ ln3=﹣ (1+ln3).
综上所述,当1<k<3,x∈(1,e)时,g(x)>﹣ (1+ln3)
【解析】(1)求出函数的导数,切点坐标,斜率,运用点斜式方程即可求解切线方程;(2)求出g(x)的解析式,求得导数,通过①当k≤0时,②当k>0时,由导数大于0,可得增区间,导数小于0,可得减区间,注意定义域;(3)通过(2),当1<k<3,x∈(1,e),g(x)的导数和函数值变化情况,求出函数的极值、最值,构造函数h(k)=﹣ ﹣ lnk,求出导数,判断单调性,证明即可得到.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
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【题目】若函数f(x)同时满足①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(﹣x)=0;②对于定义域上的任意x1、x2 , 当x1≠x2时,恒有 <0,则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列三个函数中:(1)f(x)= ;(2)f(x)=x+1;(3)f(x)= ,能被称为“理想函数”的有(填相应的序号).
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【题目】已知椭圆: 的长轴长为,且椭圆与圆: 的公共弦长为.
(1)求椭圆的方程.
(2)经过原点作直线(不与坐标轴重合)交椭圆于, 两点, 轴于点,点在椭圆上,且,求证: , , 三点共线..
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【题目】2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查,为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分),并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩,按照成绩为,,…,分成了5组,制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分).
(1)求频率分布直方图中的的值,并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)若高三年级共有2000名学生,试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数;
(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会,试求后两组中至少有1人被抽到的概率.
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【题目】已知函数f(x)=4x+a2x+3,a∈R.
(1)当a=﹣4时,且x∈[0,2],求函数f(x)的值域;
(2)若关于x的方程f(x)=0在(0,+∞)上有两个不同实根,求实数a的取值范围.
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【题目】《汉字听写大会》不断创收视新高,为了避免“书写危机”弘扬传统文化,某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试,调查数据显示市民的成绩服从正态分布.现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试,发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间,将测试结果按如下方式分成六组:第一组,第二组,…,第六组,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访,求被采访人恰好在第1组或第4组的概率;
(2)已知第1组市民中男性有3名,组织方要从第1组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队,求至少有1名女性群众的概率.
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【题目】已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点.
(1)若当点的横坐标为,且为等腰三角形,求的方程;
(2)对于(1)中求出的抛物线,若点,记点关于轴的对称点为交轴于点,且,求证:点的坐标为,并求点到直线的距离的取值范围.
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