Question

【题目】设函数f（x）＝|x－1|＋|2x－1|．
（Ⅰ）若对 x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求实数t的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝2M．证明：a＋b≥2ab．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解： 恒成立

∵ ，

当且仅当 ，即 时取等号，

∴t≤1，∴M＝1．

（Ⅱ）证明：∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤1．

∴ ．（当且仅当“a＝b”时取等号）①

又∵ ，∴ ．

∴ ，（当且仅当“a＝b”时取等号）②

由①、②得 ．（当且仅当“a＝b”时取等号）

∴a＋b≥2ab

【解析】（Ⅰ）将函数不等式化为t小于等于含x代数式，即t小于等于该代数式的最小值，再利用基本不等式求得该代数式的最小值，从而求得t的最大值；（Ⅱ）根据基本不等式a2＋b2≥2ab求得ab≤1，再对基本不等式变形求得结论.
【考点精析】掌握基本不等式是解答本题的根本，需要知道基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：．