Question

已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，g（x）=1﹣x+﹣+﹣…﹣，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z内，则b﹣a的最小值为（　　）

A．

8

B．

9

C．

10

D．

11

Answer 1

 

考点：	函数的零点与方程根的关系；函数最值的应用．
专题：	计算题；函数的性质及应用．
分析：	可通过导数法求得f（x）与g（x）的零点，从而可得f（x+3）和g（x﹣4）的零点，继而可求得F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）的具体区间，从而可求得b﹣a的最小值．
解答：	解：∵f（x）=1+x﹣+﹣+…+， ∴f′（x）=（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2012 =（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012 当x=﹣1时，f′（x）=2×1006+1=2013＞0， 当x≠﹣1时，f′（x）=（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012 =（1﹣x）•+x2012 =＞0， ∴f（x）=1+x﹣+﹣+…+在R上单调递增； 又f（0）=1， f（﹣1）=﹣﹣﹣﹣…﹣＜0， ∴f（x）=1+x﹣+﹣+…+在（﹣1，0）上有唯一零点， 由﹣1＜x+3＜0得：﹣4＜x＜﹣3， ∴f（x+3）在（﹣4，﹣3）上有唯一零点． ∵g（x）=1﹣x+﹣+﹣…﹣， ∴g′（x）=（﹣1+x）+（﹣x2+x3）+…﹣x2012 =﹣[（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2012] =﹣f′（x）＜0， ∴g（x）在R上单调递减； 又g（1）=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＞0， g（2）=﹣1+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）， ∵n≥2时，﹣=＜0， ∴g（2）＜0． ∴g（x）在（1，2）上有唯一零点， 由1＜x﹣4＜2得：5＜x＜6， ∴g（x﹣4）在（5，6）上有唯一零点． ∵函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4）， ∴F（x）的零点即为f（x+3）和g（x﹣4）的零点． ∴F（x）的零点区间为（﹣4，﹣3）∪（5，6）． 又b，a∈Z， ∴（b﹣a）min=6﹣（﹣4）=10． 故选C．
点评：	本题考查函数的零点，考查利用导数判断函数的单调性及零点存在定理的应用，考查综合分析与转化的能力，属于难题．