Question

【题目】已知函数.

（1）若，函数的图像与函数的图像相切，求的值；

（2）若， ，函数满足对任意，都有恒成立，求的取值范围；

（3）若，函数,且有两个极值点，其中，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）若，函数的图像与的图像相切，设切点为,则切线方程为，所以解得即可(2)根据在递增.不妨设，原不等式，即.设，则原不等式在上递减即在上恒成立,采用变量分离,求新函数的最值即可得解(3) 函数 , ，由题意知是的两根，根据， ,构造新函数进行求导即可求最小值.

试题解析：

（1）若，函数的图像与的图像相切，设切点为,则切线方程为，所以得.所以.

（2）当时， ， ，所以在递增.

不妨设，原不等式，即.

设，则原不等式在上递减

即在上恒成立.所以在上恒成立.

设，在上递减，所以，所以，又，所以.

（3）若，函数

，由题意知是的两根，

∴， ，

令，

当时， ， 在上单调递减， 的最小值为

即的最小值为.