Question

在边长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E是BC的中点，F是DD'的中点
（1）求证：CF∥平面A'DE
（2）求二面角E-A'D-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）分别以DA，DC，DD'为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出各顶点坐标后，进而求出直线CF的方向向量和平面A'DE的法向量，根据两个向量的数量积为0，得到两个向量垂直后，进而得到CF∥平面A'DE
（2）结合正方体的几何特征，可得

DC

=(0，2，0)是面AA'D的法向量，结合（1）中平面A'DE的法向量为

n

=(-2，1，2)，代入向量夹角公式，即可求出二面角E-A'D-A的平面角的余弦值．

解答：证明（1）：分别以DA，DC，DD'为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系，
则A'（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），…（2分）
则

DA′

=(2，0，2)，

DE

=(1，2，0)，
设平面A'DE的法向量是

n

=(a，b，c)，
则

n • DA′ =2a+2c=0 n • DE =a+2b=0

，取

n

=(-2，1，2)，…（4分）

CF

=(0，-2，1)，∵

CF

•

n

=-2+2=0，∴

CF

⊥

n

，
所以，CF∥平面A'DE．…（6分）
解：（2）由正方体的几何特征可得

DC

=(0，2，0)是面AA'D的法向量
又由（1）中向量

n

=(-2，1，2)为平面A'DE的法向量
故二面角E-A'D-A的平面角θ满足；
cosθ=

DC • n

| DC || n |

=

1

3

即二面角E-A'D-A的平面角的余弦值为

1

3

…（8分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，向量语言表述线面的平行关系，其中建立适当的空间直角坐标系，将空间线面关系及面面夹角转化为向量夹角问题，是解答本题的关键．