Question

已知关于x的实系数二次方程x²＋ax＋b＝0有两实根α、β，证明：

①如果｜α｜＜2，｜β｜＜2，则2｜a｜＜4＋b且｜b｜＜4;

②如果2｜a｜＜4＋b且｜b｜＜4，则｜α｜＜2，｜β｜＜2．

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵｜α｜＜2，｜β｜＜2，由韦达定理， ∴｜b｜＝｜αβ｜＝｜α｜·｜β｜＜4． 设f(x)＝x2＋ax＋b，如图，抛物线开口向上，又｜α｜＜2，｜β｜＜2， ∴即 ∴－(4＋b)＜2a＜4＋b2｜a｜＜4＋b． (2)由2｜a｜＜4＋b得4＋2a＋b＞0， 即f(2)＞0;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ① 且4－2a＋b＞0，　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　    ② 即f(－2)＞0． 由此可知，f(x)＝0的每个实根或者在－2与2之间，或者在－2与2之外． 1)若两根α，β均在－2与2之外，则与｜b｜＝｜αβ｜＜4相矛盾． 2)若α（或β）在－2与2之外，由于｜b｜＝｜αβ｜＜4，则另一根β(或α）必须落在－2与2之间． ∴f(－2)＜0（或f(2)＜0），这与①、②式矛盾． 综上所述，α，β必须落在－2与2之间． ∴｜α｜＜2，｜β｜＜2．