Question

已知函数f(x)=

a

x

-x+b(x≠0)．，其中a，b∈R
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导数，再由导数的几何意义和切线方程列方程f′（2）=3，再由切点在切线上和曲线上列方程，分别求出a和b；
（2）由解析式求出函数的定义域，根据导数的表达式对a进行分类：a≥0和a＜0，分别求出f'（x）＜0和f'（x）＞0的解集，再表示成区间的形式．

解答：解：（1）由题意得f′(x)=-

a

x2

-1=-

x2+a

x2

，
∵在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，
∴f′（2）=-

4+a

4

=3，且f（2）=7=

a

2

-2+b，
解得，a=-16，b=17，
故函数f（x）的解析式：f(x)=-

16

x

-x+17(x≠0)，
（2）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
且f′(x)=-

a

x2

-1=-

x2+a

x2

，
当a≥0时，恒有f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（-∞，0），（0，+∞）；
当a＜0时，令f'（x）=0，解得x=±

a

，
当x＞

a

或x＜-

a

时，f'（x）＜0；当-

a

＜x＜

a

且x≠0时，f'（x）＞0，
∴f（x）单调递减区间为（-∞，-

a

），（

a

，+∞），单调递增区间为（-

a

，0），（0，

a

），
综上得，当a≥0时，函数的f（x）的减区间为（-∞，0），（0，+∞）；
当a＜0时，减区间为（-∞，-

a

），（

a

，+∞），增区间为（-

a

，0），0，

a

）．

点评：本题考查了导数与函数的单调性关系，以及导数的几何意义、切点在曲线上和切线上的应用等，考查了分类讨论思想．