Question

在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P满足PA=

2

PB，记点P的轨迹曲线为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C上不同两点Q （x₁，y₁），R （x₂，y₂）满足

AR

=λ

AQ

，点S为R 关于x轴的对称点．
①试用λ表示x₁，x₂，并求λ的取值范围；
②当λ变化时，x轴上是否存在定点T，使S，T，Q三点共线，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用PA=

2

PB，化简即得；
（2）①由

AR

=λ

AQ

，可得

x2-λx1=2a(1-λ) y2=λy1

，又Q，R在曲线C上，所以有x1=

3-λ

2

a，x2=

3λ-1

2λ

a，利用-

2

a≤x1，x2≤

2

a，由此可确定λ的取值范围．
②先猜想存在符合题意的点T（a，0），再证明．要证S，T，Q三点共线，只要证明

TQ

∥

TS

．

解答：解：（1）设点P坐标为（x，y），由PA=

2

PB，得

(x-2a)2+y2

=

2

×

(x-a)2+y2

，平方整理得x²+y²=2a²，所以曲线C的方程为x²+y²=2a²
（2）①由

AR

=λ

AQ

，得

x2-λx1=2a(1-λ) y2=λy1

，∵Q，R在曲线C上，∴

x 2 1 + y 2 1 =2a2 x 2 2 + y 2 2 =2a2

，
∴x1=

3-λ

2

a，x2=

3λ-1

2λ

a，∵-

2

a≤x1，x2≤

2

a，∴3-2

2

≤λ≤3+2

2

又Q，R不重合，∴λ≠1，∴λ的取值范围是[3-2

2

，1)∪(1，3+2

2

)
②存在符合题意的点T（a，0），证明如下：

TS

=(x2-a，--y2)，

TQ

=(x1-a，--y1)，
要证S，T，Q三点共线，只要证明

TQ

∥

TS

，即（x₂-a）y₁-（x₁-a）（-y₂）=0
∵y₂=λy₁，∴只要（x₂-a）y₁+λ（x₁-a）y₁=0
若y₁=0，则y₂=0成立
若y₁≠0，只要x₂+λx₁-a（1+λ）=0成立
所以存在点T（a，0），使S，T，Q三点共线

点评：本题主要考查曲线方程的求解，考查向量与解析几何的联系．对于是否存在性问题，可以先猜后证，把结论作为条件．