Question

（2012•眉山一模）已知△ABC，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量

m

=(c，a)，

n

=(2cos2 

C

2

-1，sinA)，且

m

∥

n

（I）求角C的大小；
（II）求2

3

cos2

A

2

+sin(B+

π

4

)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

Answer 1

分析：（I）利用向量共线的充要条件，建立等式，再利用正弦定理将边转化为角，即可求得结论；
（II）根据C=

π

4

，可得B=

3π

4

-A，从而2

3

cos2

A

2

+sin(B+

π

4

)可化为

3

+2sin(A+

π

3

)，确定

π

3

＜A+

π

3

＜

13π

12

，即可求出结论．

解答：解：（I）∵

m

=(c，a)，

n

=(2cos2

C

2

-1，sinA)，且

m

∥

n

∴csinA-a（2cos2

C

2

-1）=0
∴csinA-acosC=0
∴sinCsinA-sinAcosC=0
∵sinA≠0，
∴tanC=1，
∴C=

π

4

（II）∵C=

π

4

，∴B=

3π

4

-A
∴2

3

cos2

A

2

+sin(B+

π

4

)=2

3

×

1+cosA

2

+sin(π-A)=

3

+2sin(A+

π

3

)
∵0＜A＜

3

4

π，∴

π

3

＜A+ 

π

3

＜

13π

12

∴当A+

π

3

=

π

2

时，即A=

π

6

时，2

3

cos2

A

2

+sin(B+

π

4

)取得最大值为

3

+2，
取得最大值时，A=

π

6

，B=

7π

12

．

点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角形与三角函数的综合，解题的关键是将三角函数式正确变形．