Question

已知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f′（x），且对任意正数X均有f′(x)＞

f(x)

x

，则下列结论中正确的是（　　）

• A、y=f（x）在（0，+∞）上为增函数
• B、y=

  f(x)

  x

  在（0，+∞）上为减函数
• C、若x₁，x₂∈（0，+∞）则f（（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）
• D、若x₁，x₂∈（0，+∞），则f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）

Answer 1

分析：由于函数为抽象函数．所以此题只能从f（x）的导函数为f（x），且对任意正数x均有f′(x)＞

f(x)

x

入题，得到x＞0时，

f(x)

x

为单调递增函数，利用不等式的性质即可．

解答：解：由f′（x）＞

f(x)

x

?

xf′(x)-f(x)x

＞0，
又x＞0?

xf′(x)-f(x)x2

＞0 即：[

f′(x)

x2

]′＞0?

f(x)

x

在（0，+∞）上单调递增，
又x₁，x₂∈（0，+∞）?

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2)

x1+x2

即：（x₁+x₂）f（x₁）＜x₁f（x₁+x₂）①
同理：（x₁+x₂）f（x₂）＜x₂f（x₁+x₂）②
 ①+②得：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．
故答案选D

点评：此题考查了利用导函数解决函数的单调性，还考查了不等式的性质．