Question

【题目】已知函数，其中.

（1）若是函数的极值点，求实数的值；

（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1），定义域为，，依题意，解得；（2）对任意的都有成立等价于对任意的都有.利用导数，求得在上是增函数，最大值.而，由此，对分成，，三段，来讨论的最大值，最后求得的取值范围为.

试题解析：

（1）∵，∴，其定义域为，

∴，∵是函数的极值点，∴，即，

∵，∴.经检验当时，是函数的极值点，∴.

（2）对任意的都有成立等价于

对任意的都有，

当时，，∴函数在上是增函数，

∴.

∵，且，.

①当且时，，

∴函数在上是增函数，∴，

由，得，又，∴不合题意.

②当时，若，则，若时，，

∴函数在上是减函数，在上是增函数，

∴，由，得，又，∴.

③当且时，，

∴函数在上是减函数，∴，

由，得，又，∴，

综上所述，的取值范围为.