Question

【题目】函数在同一个周期内，当时y取最大值1，当时，y取最小值﹣1．

（1）求函数的解析式y=f(x)；

（2）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f(x)的图象？

（3）若函数f（x）满足方程f(x)=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）见解析；（3） .

【解析】

（1）通过同一个周期内，当时y取最大值1，当时，y取最小值﹣1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）；

（2）函数y=sinx的图象经过左右平移，然后是横坐标变伸缩变换，纵坐标不变，可得到y=f（x）的图象，确定函数解析式；

（3）确定函数在[0，2π]内的周期的个数，利用f（x）=a（0＜a＜1）与函数的对称轴的关系，求出所有实数根之和．

（1）∵ ，∴，

又因，∴，又，得

∴函数 ；

（2）y=sinx的图象向右平移个单位得的图象，

再由图象上所有点的横坐标变为原来的．

纵坐标不变，得到的图象，

∵的周期为，

∴在[0，2π]内恰有3个周期，

∴在[0，2π]内有6个实根且，

同理，，

故所有实数之和为．