Question

已知函数f(x)＝sin2x＋acos²x(a∈R，a为常数)，且是函数y＝f(x)的零点.

(1)求a的值，并求函数f(x)的最小正周期；

(2)若x∈[0，]，求函数f(x)的值域，并写出f(x)取得最大值时x的值.

Answer 1

(1)由于是函数y＝f(x)的零点，

即x＝是方程f(x)＝0的解，

从而f()＝sin＋acos²＝0，

则1＋a＝0，解得a＝－2.

所以f(x)＝sin2x－2cos²x＝sin2x－cos2x－1，

则f(x)＝sin(2x－)－1，

所以函数f(x)的最小正周期为π.

(2)由x∈[0，]，得2x－∈[－，]，

则sin(2x－)∈[－，1]，

则－1≤sin(2x－)≤，

－2≤sin(2x－)－1≤－1，

∴函数f(x)的值域为[－2，－1].

当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，

即x＝kπ＋时，f(x)有最大值，

又x∈[0，]，故k＝0时，x＝，

f(x)有最大值－1.