Question

在△ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的对应边，则
①若a＞b，则f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函数；
②若a²-b²=（acosB+bcosA）²，则△ABC是Rt△；
③cosC+sinC的最小值为-

2

；
④若cos2A=cos2B，则A=B；
⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则A+B=

3

4

π，
其中错误命题的序号是

③⑤

．

Answer 1

分析：①由正弦定理，可知命题正确；②由余弦定理可得acosB+bcosA=a

a2+c2-b2

2ac

+b

b2+c2-a2

2bc

=c，可得a²=b²+c²；③由三角函数的公式可得sinc+cosc=

2

sin(c+

π

4

)，由的范围可得

2

sin(c+

π

4

)∈（1，

2

]；④由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=2π-2B，A=π-B，A+B=π（舍）；⑤展开变形可得

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=1，即tan（A+B）=1，进而可得A+B=

π

4

解答：解：①由正弦定理，a＞b等价于sinA＞sinB，∴sinA-sinB＞0，∴f（x）=（sinA-sinB）x在R上是增函数，故正确；
②由余弦定理可得acosB+bcosA=a

a2+c2-b2

2ac

+b

b2+c2-a2

2bc

=c，故可得a²-b²=c²，即a²=b²+c²，故△ABC是Rt△，故正确；
③由三角函数的公式可得sinc+cosc=

2

sin(c+

π

4

)，∵0＜c＜π，∴

π

4

＜

π

4

+c＜

5π

4

，∴sin(c+

π

4

)∈（-

2

2

，1]，
∴

2

sin(c+

π

4

)∈（-1，

2

]，故取不到最小值为-

2

，故错误；
④由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=2π-2B，A=π-B，A+B=π（舍），∴A=B，故正确；
⑤展开可得1+tanA+tanB+tanA•tanB=2，1-tanA•tanB=tanA+tanB，
∴

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=1，即tan（A+B）=1，∴A+B=

π

4

，故错误；
∴错误命题是③⑤．
故答案为③⑤

点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及三角函数的知识，属基础题．