Question

（2011•浦东新区三模）设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边长，向量

m

=(

3

 ，cosA+1)，

n

=(sinA ，-1)，

m

⊥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2 ，cosB=

3

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量垂直，可得数量积为0，从而可转化为A的复角三角函数，利用三角形条件，可求角A的大小；
（2）先求sinB，再利用正弦定理，可求b的值．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

 ， ∴

m

•

n

=

3

sinA-cosA-1=0，…（2分）
∴sin(A-

π

6

)=

1

2

…（4分）
又∵0＜A＜π ⇒-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，∴A=

π

3

…（6分）
（2）在△ABC中，A=

π

3

 ，a=2 ，cosB=

3

3

，
∴sinB=

1-cos2B

=

1- 1 3

=

6

3

…（8分）
由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

⇒

2

3 2

=

b

6 3

…（10分）
∴b=

4 2

3

…（12分）

点评：本题以三角形为依托，考查三角函数，考查正弦定理的运用，关键是利用数量积研究向量的垂直关系．