Question

从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t．问：
（1）求长方体的容积V关于x的函数表达式；
（2）x取何值时，长方体的容积V有最大值？

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出长方体的底面正方形的边长和高，便可求出长方体的容积V解析式．
（2）把容积V变形后使用基本不等式求出最大值，注意分析等号成立条件能否满足，
当等号成立条件不能满足时，利用导数值的符号确定函数的单调性，由单调性确定函数的最大值．
解答：解：（1）长方体的底面正方形的边长为2a-2x，高为x，所以，容积V=4（x-a）²x，
由，得 0＜x≤，
（2）由均值不等式知V=2（a-x）（a-x）（2x），
当a-x=2x，即时等号成立．
①当，即，；
②当，即时，，
则V′（x）在上单调递减，
∴，
∴V（x）在单调递增，
∴
总之，若，则当时，；
若，则当时，．
点评：本题考查基本不等式在函数最值中的应用，利用导数来研究函数的单调性，由函数的单调性确定函数的最大值．