Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中AB⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=PA=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若BE⊥平面PCD，求异面直线PD与BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取PD的中点F，连接AF，EF，推导出四边形ABEF为平行四边形，由此能够证明BE∥平面PAD．
（2）取CD中点G，连接EG，AG，则∠EGA就是异面直线PD与BC所成角，再由余弦定理能求出异面直线PD与BC所成角的余弦值．

解答：解：（1）取PD的中点F，连接AF，EF，
∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中AB⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，
PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，
∴EF

∥

.

AB，∴四边形ABEF为平行四边形，
∴BE∥AF，
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）取CD中点G，连接EG，AG，AE，则EG∥PD，AG∥BC，
∴∠EGA就是异面直线PD与BC所成角，
设AB=a，∵BE⊥平面PCD，CD=AD=PA=2AB，ABCD为一直角梯形，
AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，
∴PD=2

2

a，EG=

2

a，AG=

5

a，AE=

1

2

PC=

3

a，
∴cos∠EGA=

EG2+AG2-AE2

2EG•AG

=

2a2+5a2-3a2

2× 2 a× 5 a

=

10

5

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦定理的合理运用．