Question

【题目】设函数.

（1）当时，求函数的零点个数；

（2）若，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）利用的符号讨论函数的单调性，结合零点存在定理可得零点的个数.

（2）不等式有解等价于对任意恒成立即，构建新函数，求出后分和分类讨论可得实数的取值范围.

解：（1），即，

则，

令解得.

当在上单调递减；

当在上单调递增，

所以当时，.

因为，

所以.

又，，

所以，，

所以分别在区间上各存在一个零点，函数存在两个零点.

（2）假设对任意恒成立，

即对任意恒成立.

令，则.

①当，即时，且不恒为0，

所以函数在区间上单调递增.

又，所以对任意恒成立.

故不符合题意；

②当时，令，得；令，得.

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，即当时，存在，使，即.

故符合题意.

综上可知，实数的取值范围是.