Question

【题目】已知抛物线C：的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C的准线的距离为．

Ⅰ求点Q的纵坐标；可用p表示

Ⅱ求抛物线C的方程；

Ⅲ设直线l：与抛物线C有两个不同的交点A，若点M的横坐标为2，且的面积为，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

Ⅰ根据焦点以及的外接圆的圆心为Q，即可求出；

Ⅱ由题意可得，解得，即可求出抛物线方程；

Ⅲ先判断为直角三角形，再根据点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的面积公式即可求出．

Ⅰ由题意，设，

因为焦点以及的外接圆的圆心为Q，

则线段的垂直平分线的方程为，所以点的纵坐标为.

（Ⅱ）由抛物线C的准线方程为，所以，解得，

所以抛物线C的方程．

Ⅲ可知，，，

为直角三角形，其外接圆圆心在MO的中点上，即Q的坐标为，

点Q到直线AB的距离，

设，，联立方程组，消y可得，

，，

，

，即，

解得，即，

所以直线l的方程为