Question

已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足=，=0．
（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出N点的坐标，由已知条件可知P为MN的中点，由题意设出P和M的坐标，求出和的坐标，代入•可求动点N的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系写出A，B两点的纵坐标的和与积，假设存在点C（m，0）满足条件，则，由
|CA|²+|CB|²=|AB|²成立得到，代入坐标后得到关于m的一元二次方程，分析知方程有解，从而得到答案．
解答：解：（Ⅰ）设N（x，y），则由，得P为MN的中点．
∴，M（-x，0）．
∴，．
∴，即y²=4x．
∴动点N的轨迹E的方程y²=4x．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），由，消去x得．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 ，y₁y₂=-4．
假设存在点C（m，0）满足条件，则，，
∴
=
=
=．
∵，
∴关于m的方程有解．
∴假设成立，即在x轴上存在点C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立．
点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题是考查的中点，常和弦长问题、存在性问题结合考查，解答时往往采用“设而不求”的解题方法，借助于一元二次方程的根与系数关系解题，该种类型的问题计算量较大，要求学生有较强的运算能力，是难题．