Question

【题目】在三棱锥 中，底面 是边长为 2 的正三角形，顶点 在底面上的射影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，

而且底面BCD是正三角形，

∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，

令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，

∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，

∴DE=，∴PE=，DP=

∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即

∴AP=，

∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，

∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，

∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为.

∴外接球的表面积=4πr2=6π．

故选D.