Question

甲、乙、丙三人参加了一家公司招聘面试，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是

1

2

，且面试是否合格互不影响．
（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人面试合格的概率；
（2）求签约人数的期望和方差．

Answer 1

分析：（1）设“A、B、C分别表示甲、乙、丙面试合格”，得出P(A)=P(B)=P(C)=

1

2

，由于事件“甲、乙、丙三人中至少有一人面试合格”对立事件是“都不合格”，此事件的概率易求，故利用概率的性质先求对数事件的概率再求所研究事件的概率；
（2）设ξ代表签约人数，则有ξ=0，1，2，3分别求出ξ=0，1，2，3的概率，列出分布列，由公式求出期望，方差．

解答：解：（1）设“A、B、C分别表示甲、乙、丙面试合格”事件则P(A)=P(B)=P(C)=

1

2

三人都不合格的概率P=(

.

A

•

.

B

•

.

C

)=(

1

2

)3=

1

8

∴至少有一人合格的概率P=1-P(

.

A

•

.

B

•

.

C

)=

7

8

（4分）
（2）设ξ代表签约人数，则有ξ=0，1，2，3
∴P(ξ=0)=P(

.

A

•B•

.

C

)+P(

.

A

•

.

B

•C)+P(

.

A

•

.

B

•

.

C

)=

3

8

P(ξ=1)=P(A•

.

B

•

.

C

)+P(A•

.

B

•C)+P(A•B•

.

C

)=

3

8

P(ξ=2)=P(

.

A

•B•C)=

1

8

P(ξ=3)=P(A•B•C)=

1

8

分布列

ξ	0	1	2	3
P	3 8	3 8	1 8	1 8

∴Eξ=1×

3

8

+2×

1

8

+3×

1

8

=

8

8

=1
Dξ=

3

i=0

(Eξ-ξi)2•pi=1（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，解量的关键是正确理解事件“甲、乙、丙三人中至少有一人面试合格”，再根据相互独立事件的概率求法公式求出概率，第二小问中要根据概率乘法求出变量取各个可能值的概率，得出分布列，公分母利用公式求期望与方差，熟练记忆公式是快捷求出期望与方差的保证．