Question

（本小题满分12分）如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求多面体的体积。

Answer 1

（1），平面，连结，则是的中点，,在△中，∴∥平面（2）∵平面，∥，∴平面，∴∵面是正方形，∴， ∴，∴（3）

解析试题分析：（1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形． 连结，则是的中点，,在△中，， 且平面，平面，∴∥平面   ……4分
（2） ∵平面，∥，∴平面，∴，
∵面是正方形，∴， ∴，∴．    ……8分
（3）因为平面，平面, ,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形 是矩形,且侧面⊥平面，取的中点,,且平面．
所以多面体的体积． ……12分
考点：三视图，线面平行垂直的判定及锥体体积
点评：本题先要由三视图确定直观图中垂直的线面关系及线段的长度，利用已知中的中点实现线线平行，进而得证线面平行